Полиномиальное распределение

Определение полиномиального распределения

Полиномиальное распределение — это многомерная версия биномиального распределения. Это распределение вероятностей результатов полиномиального эксперимента. Он используется в случае эксперимента, который может привести к более чем двум возможным результатам.

Самый простой метод построения полиномиальной случайной величины состоит в том, чтобы воспроизвести эксперимент (путем рисования n однородных случайных чисел и назначения их определенным ячейкам на основе кумулятивного значения вектора p) для получения полиномиальной случайной величины. В учебной статистике это распределение используется по-разному.

Оглавление

• Определение полиномиального распределения
  • Объяснение полиномиального распределения
  • Мультиномиальные и биномиальные
  • Формула
  • Пример
  • Часто задаваемые вопросы (FAQ)
  • Рекомендуемые статьи

Ключевые выводы

• Полиномиальное распределение представляет собой вероятность получения определенного набора подсчетов, где каждое испытание имеет дискретное количество возможных результатов.
• Самый прямой критерий согласия основан на полиномиальном распределении шаблонов ответов.
• Его приложения и варианты использования часто включают оценку вероятности набора результатов, которых обычно больше двух или по крайней мере два.
• Это тип распределения вероятностей, подтипом которого является биномиальное распределение.

Объяснение полиномиального распределения

Полиномиальное распределение — это многомерное дискретное распределение. Полиномиальные эксперименты включают следующие характеристики:

• Эксперимент состоит из n повторных попыток.
• Его результаты имеют статистическую значимость.
• Существует конечное число возможных результатов для каждого испытания, и вероятность возникновения любого события постоянна на протяжении всего эксперимента.
• Результаты одного эксперимента не влияют на результаты других.

Предполагая, что модель действительна, самый простой способ определить соответствие модели – использовать полиномиальное распределение шаблонов ответов. Соответственно, существует «nm» возможных шаблонов ответов в диапазоне от (l,…,l) до (m,…,m) для n заданий с m категориями ответов для каждого задания. Следовательно, все шаблоны ответов имеют одинаковую вероятность появления, если u является типичным шаблоном.

Таким образом, чтобы оценить частоты шаблонов ответов, используйте полиномиальное распределение с параметрами n и реальной вероятностью для всех шаблонов ответов. Согласно многомерной центральной предельной теореме, многомерное нормальное распределение может аппроксимировать распределение для больших размеров выборки.

При рассмотрении всех данных распределение наблюдений имеет полиномиальную форму для наблюдений из разных распределений Пуассона. Вероятности в полиномиальном распределении основаны на среднем значении Пуассона для каждой ячейки, умноженном на все средние значения Пуассона.

Полиномиальное и биномиальное распределение

Полиномиальный эксперимент имеет подтип, известный как биномиальный. В этом отношении есть одно существенное отличие. Соответственно, в биномиальном эксперименте есть только две возможности для каждого испытания. В то же время каждый эксперимент в полиномиальном испытании имеет разность потенциалов для двух и более различных результатов.

Например, вы проводите n раз эксперимент с K результатами. Затем вы обозначаете через Xi количество раз, когда вы получаете i-й результат. В этом случае случайный вектор X определяется как X = [X1, X2, …, XK] является полиномиальным случайным вектором.

Полиномиальное распределение — это обобщение биномиального распределения на случай n повторных испытаний, в каждом из которых возможно более двух исходов. Если событие может произойти с k возможными исходами, каждый с вероятностью pi(i = 1,1,…,k), с ∑k(i=1)pi = 1, и если ri — номер связанного исхода с ‘pi’, то случайные величины ri (i = 1,2,…,k-1) имеют полиномиальную вероятность, определяемую как

ф (r1,r2,….,rk-1) = n!∏ki=1 piri/∏ki=1 ri!, ri = 0,1,2,….,n.

Обратите внимание, что каждое из ri находится в диапазоне от 0 до n включительно только с (k-1) переменными из-за линейного ограничения:

∑ki=1 ри = n

Точно так же, как биномиальное распределение стремится к одномерному нормальному распределению, полиномиальное распределение имеет тенденцию ограничиваться многомерным нормальным распределением.

Формула

Предположим, что случайная величина X имеет полиномиальное распределение. В этом случае имеет место следующее полиномиальное распределение Калькулятор вычисляет вероятность того, что событие 1 произойдет ровно x1 раз, событие 2 произойдет ровно x2 раза, событие 3 произойдет ровно x3 раза и так далее. Отсюда следует формула мультиномиального распределения:

Вероятность = n!*(p1x1 * p2x2 * … * pkxk)/(x1!*x2!*…*xk!)

Где:

• н: общее количество событий
• х1, х2, хк: количество вхождений события 1, события 2 и события k соответственно.
• изн1, изн2, пк: вероятность того, что результаты 1, 2 и k произойдут соответственно в следе.

Пример

Давайте посмотрим на пример полиномиального распределения чтобы лучше понять концепцию:

Ребекка, портфельный менеджер, использует его для оценки вероятности инвестиций своего клиента. В 60% случаев она выбирает индекс с малой капитализацией, чтобы превзойти индекс с большой капитализацией. Принимая во внимание, что в 40% случаев Ребекка выбирает индекс с большой капитализацией, чтобы превзойти индекс с малой капитализацией. В 10% случаев индексы могут иметь одинаковую или приблизительную доходность.

Поскольку в таких случаях пробная версия может длиться целый год торговых дней, Ребекка использует фактические рыночные данные для проверки результатов. В сценариях, где вероятность этого набора событий высока, ее клиенты могут соблазниться чрезмерно инвестировать в индекс малой капитализации.

Точно так же Нил, финансовый аналитик, использует этот метод для оценки вероятности событий, таких как потенциальные квартальные продажи для бизнеса, когда его конкуренты сообщают о более низкой, чем ожидалось, прибыли.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое полиномиальное распределение?

Полиномиальное распределение используется для выражения вероятности получения определенного количества отсчетов для k различных результатов, когда вероятность каждого события известна заранее.

Какими свойствами обладает полиномиальное распределение?

Ниже приведены свойства полиномиального распределения: Эксперимент состоит из повторных n испытаний. Каждый эксперимент имеет ограниченное количество результатов. Вероятность того, что в каждом испытании произойдет конкретный результат, остается неизменной.

Полиномиальное распределение против нормального распределения

Полиномы используются, когда порядок не имеет значения для конечного числа классов/групп. Нормальное распределение используется для непрерывных данных, которые могут принимать бесконечные значения при точной записи (хотя на практике мы будем округлять до конечного подмножества).

Чем полиномиальное распределение отличается от биномиального распределения?

Он почти идентичен биномиальному эксперименту, за исключением одного существенного отличия: биномиальный эксперимент может дать только два результата, а полиномиальный эксперимент может дать несколько результатов. Например, предположим, что вы бросаете кубик двенадцать раз, чтобы посмотреть, какое число выпадет каждый раз. Результаты биномиального эксперимента будут распределены биномиальным образом.

Рекомендуемые статьи

Эта статья представляет собой руководство по полиномиальному распределению и его определению. Мы объясняем его свойства, формулу, калькулятор, сравнение с биномом и пример. Вы можете узнать больше из следующих статей –

• Распределение вероятностей
• Регрессия
• Отрицательно асимметричное распределение