Нормальное распределение

Что такое нормальное распределение в статистике?

Нормальное распределение или распределение Гаусса относится к распределению вероятностей, при котором значения случайной величины распределяются симметрично. Эти значения одинаково распределены слева и справа от центральной тенденции. Таким образом, формируется колоколообразная кривая.

Кроме того, максимальное количество значений оказывается близким к среднему; хвост состоит всего из нескольких значений. Эмпирическое правилоЭмпирическое правилоЭмпирическое правило в статистике гласит, что почти все (95%) наблюдения в нормальном распределении находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего. Подробнее применимо к таким функциям вероятности. Следовательно, 68% значений лежат в пределах одного диапазона стандартных отклонений. 95% наблюдений находятся в пределах двух стандартных отклонений, а 99,7% значений находятся в пределах трех стандартных отклонений.

Оглавление

• Что такое нормальное распределение в статистике?
  • Нормальное распределение Объяснение
  • Характеристики нормального распределения
  • Кривая нормального распределения
  • Формула нормального распределения
  • Примеры
    • Пример №1
    • Пример #2
  • Использование
  • Часто задаваемые вопросы (FAQ)
  • Рекомендуемые статьи

Ключевые выводы

• Нормальное распределение — это статистическое явление, представляющее собой симметричную колоколообразную кривую. Большинство значений расположены вблизи среднего значения; также лишь немногие появляются на левом и правом хвостах.
• Он следует эмпирическому правилу или правилу 68-95-99,7.
• Здесь среднее значение, медиана и мода равны; среднее значение и стандартное отклонение функции равны 0 и 1 соответственно.
• Эта математическая функция имеет два ключевых параметра:
  Среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ).

Нормальное распределение Объяснение

Нормальное распределение напоминает асимметричное расположение большинства значений вокруг среднего, так что сформированная таким образом кривая выглядит как колокол. Он имеет два ключевых параметра: среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ). Этот вероятностный метод играет решающую роль в расчете доходности активов и принятии решений по стратегии управления рисками. На следующем рисунке показано, что функция статистической вероятности представляет собой колоколообразную кривую. Он получил свое название из-за формы графика, напоминающего колокол. читать далее, что следует эмпирическому правилу:

Возможные результаты функции даны в терминах целых действительных чисел, лежащих между -∞ до +∞. Хвосты колоколообразной кривой простираются по обеим сторонам графика (+/-) без ограничений.

1. Приблизительно 68% всех наблюдений попадают в пределы +/- одного стандартного отклонения (σ).
2. Около 95% всех наблюдений находятся в пределах +/- двух стандартных отклонений (σ).
3. Почти 99,7% всех наблюдений находятся в пределах +/- трех стандартных отклонений (σ).

Асимметрия относится к симметрии. Если skewnessSkewnessSkewness — это отклонение или степень асимметрии, показанная кривой нормального распределения в заданном наборе данных. Если кривая смещается вправо, это считается положительной асимметрией, а кривая, сдвинутая влево, представляет собой отрицательную асимметрию. Читать далее 0, данные идеально симметричны. Если нормальное распределение неравномерно с асимметрией больше нуля или положительной асимметрией, то его правый хвост будет более длинным, чем левый. Аналогично, для отрицательной асимметрииОтрицательная асимметрияОтрицательно асимметричное распределение — это распределение, в котором хвост распределения длиннее с левой стороны, а больше значений нанесено на правую сторону графика. Из-за отрицательного распределения данных среднее значение ниже медианы и моды. Читать далее, левый хвост будет длиннее правого. Отрицательная асимметрия означает, что асимметрия меньше нуля.

KurtosisKurtosisKurtosis в статистике используется для описания распределения набора данных и показывает, в какой степени точки набора данных определенного распределения отличаются от данных нормального распределения. Он определяет, являются ли данные тяжелыми или легкими хвостами. Подробнее — это мера пиковости. Если эксцесс равен 3, данные о вероятности не являются ни слишком острыми, ни слишком тонкими на концах. Если эксцесс больше трех, то кривая данных усиливается с более толстыми хвостами. В качестве альтернативы, если эксцесс меньше трех, то представленные данные имеют тонкие хвосты с пиковой точкой ниже нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен 3.

Характеристики нормального распределения

Нормальное распределение имеет следующие характеристики, которые отличают его от других форм представления вероятностей:

• Эмпирическое правило: При нормальном распределении 68 % наблюдений находятся в пределах -/+ одного стандартного отклонения, 95 % значений находятся в пределах -/+ двух стандартных отклонений и почти 99,7 % значений находятся в пределах -/+ трех стандартных отклонений. .
• Колоколообразная кривая: большая часть значений находится в центре, а меньшее количество значений находится на концах хвоста. В результате получается колоколообразная кривая.
• Среднее и стандартное отклонение: это представление данных формируется средним значением и стандартным отклонением.
• Равные центральные тенденции: Среднее значение, медиана и мода этих данных равны.
• Симметричный: Кривая нормального распределения центрально-симметрична. Таким образом, половина значений находится слева от центра, а остальные значения отображаются справа.
• Асимметрия и эксцесс: Асимметрия – это симметрия. Асимметрия для нормального распределения равна нулю. Куртосис изучает хвост представленных данных. Для нормального распределения эксцесс равен 3.
• Общая площадь = 1: общее значение стандартного отклонения, т. е. полная площадь кривой этой функции вероятности, равна единице. Кроме того, все среднее равно нулю.

Кривая нормального распределения

Кривая принимает форму колокола из-за симметричного расположения значений, сосредоточенных по направлению к центральной тенденции. Центральная тенденция. Центральная тенденция — это статистическая мера, отображающая центральную точку всего распределения данных, и ее можно найти с помощью 3 различных мер, т. е. , Среднее, Медиана и Мода.Подробнее. При этом хвост состоит из незначительного количества значений.

Взгляните на кривую ниже, чтобы лучше понять ее форму:

Формула нормального распределения

Функция плотности вероятности (PDF) случайной величины (X) определяется следующим образом:

Решение:

Как показано на рисунке выше, нам нужно найти площадь под кривой нормали от 45 до левого хвоста, чтобы ответить на этот вопрос. Кроме того, нам нужно использовать значение z-таблицы, чтобы получить правильный ответ.

Во-первых, нам нужно преобразовать данное среднее значение и стандартное отклонение. таким образом, интерпретируя надежность данных в виде стандартного нормального распределения со средним значением (µ) = 0 и стандартным отклонением (σ) = 1, используя формулу преобразования.

После преобразования нам нужно просмотреть z-таблицу, чтобы узнать соответствующее значение, которое даст нам правильный ответ.

Данный,

• Среднее (µ) = 60 000 долларов США
• Стандартное отклонение (σ) = 15000 долларов США
• Случайная переменная (x) = 45000 долларов США

Трансформация (z) = (45000 – 60000 / 15000)

Преобразование (z) = -1

Значение, эквивалентное -1 в z-таблице, составляет 0,1587, представляющее площадь под кривой от 45° влево. Таким образом, это показало, что при случайном выборе сотрудника вероятность заработать менее 45000 долларов в год составляет 15,87%.

Важно отметить, что мы преобразовали значение z-показателя 0,1587 в проценты, умножив его на 100, чтобы получить 15,87%.

Пример #2

Для того же вышеприведенного сценария теперь найдите вероятность того, что случайно выбранный сотрудник заработает более 85 000 долларов в год.

Решение:

Итак, в этом вопросе нам нужно узнать заштрихованную область от 85 до правого хвоста по той же формуле.

Данный:

• Среднее (µ) = 60 000 долларов США
• Стандартное отклонение (σ) = 15000 долларов США
• Случайная переменная (X) = 85 000 долларов США.

Трансформация (z) = (85000 – 60000 /15000)

Трансформация (z) = 1,67

Согласно Z-таблице эквивалентное значение 1,67 составляет 0,9525 или 95,25%, что показывает, что вероятность случайного выбора сотрудника, зарабатывающего менее 85 000 долларов в год, составляет 95,25%.

Но что касается вопроса, нам нужно определить вероятность случайных сотрудников, зарабатывающих более 85 000 долларов в год, поэтому нам нужно вычесть рассчитанное значение из 100.

• Случайная переменная (X) = 100% – 95,25%
• Случайная переменная (X) = 4,75%

Таким образом, вероятность того, что сотрудники заработают более 85 000 долларов в год, составляет 4,75%.

Использование

Эта математическая функция применяется в различных областях науки, будь то наука, экономикаЭкономикаЭкономика — это область социальных наук, изучающая производство, распределение и потребление ограниченных ресурсов в обществе. , организация и обобщение, анализ, интерпретация и, наконец, представление таких данных, как качественных, так и количественных, что помогает принимать более эффективные и эффективные решения с уместностью. Подробнее, финансы, бизнес, инвестиции, психология, здоровье, генетика, биотехнологии или ученые . Некоторые из его типичных применений обсуждаются ниже:

• Технический график фондового рынка часто представляет собой колоколообразную кривую, позволяющую аналитикам и инвесторам делать статистические выводы об ожидаемой доходности и риске акций.
• Он используется для определения наилучшего времени для доставки пиццы и других подобных приложений в реальной жизни.
• Он также применяется в бизнес-операциях. Деловые операции. Деловые операции относятся ко всем тем действиям, которые сотрудники ежедневно выполняют в рамках организационной структуры для производства товаров и услуг для достижения целей компании, таких как получение прибыли. Узнайте больше, чтобы определить эффективность продуктов, ресурсов и продаж. .
• Он используется для сравнения роста данной группы населения, в которой большинство людей будут иметь средний рост. Очень немногие люди будут иметь рост выше среднего или ниже среднего.
• Они используются при определении средней успеваемости учащихся. Эта математическая функция используется при определении ранга студента.

Функция Гаусса обычно используется в науке о данных и анализе данных. Передовые технологии, такие как искусственный интеллект (ИИ) и машинное обучение, могут давать лучшие результаты при использовании вместе с функциями нормальной плотности.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Почему нормальное распределение важно?

Эта функция Гаусса является одной из самых популярных функций плотности вероятности. Это связано с тем, что он эффективно обеспечивает близкие результаты или вероятность природных явлений. Таким образом, он повсеместно применяется во многих областях, таких как экономика, финансы, инвестиции, психология, наука, здравоохранение, бизнес и экономика.

Что делать, если данные не распределены нормально?

Можно проверить ошибки ввода данных, ошибки измерения и выбросы в случае асимметричного или ненормального распределения. После этого эти вопросы могут быть пересмотрены для устранения ошибок и нормализации представленных данных.

Как узнать, является ли распределение нормальным?

Если выполняются следующие условия, то представленные данные являются нормальными:
• Центрально-симметричная и колоколообразная кривая,
• Равное среднее, медиана и мода,
• Среднее значение распределения равно 0,
• Стандартное отклонение равно 1.
• Асимметрия равна 0. и
• Эксцесс 3 с.

Рекомендуемые статьи

Это было руководство по нормальному распределению в статистике и его определению. Здесь мы объясняем его характеристики вместе с формулами, примерами и использованием. Вы можете узнать больше о финансировании из следующих статей –

• НОРМРАСП Excel
• Лог нормального распределения
• Формула нормального распределения
• Создайте график нормального распределения в Excel