Нормальное распределение

Что такое нормальное распределение в статистике?

Нормальное распределение или распределение Гаусса относится к распределению вероятностей, при котором значения случайной величины распределяются симметрично. Эти значения одинаково распределены слева и справа от центральной тенденции. Таким образом, формируется колоколообразная кривая.

Кроме того, максимальное количество значений оказывается близким к среднему; хвост состоит всего из нескольких значений. Эмпирическое правилоЭмпирическое правилоЭмпирическое правило в статистике гласит, что почти все (95%) наблюдения в нормальном распределении находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего. Подробнее применимо к таким функциям вероятности. Следовательно, 68% значений лежат в пределах одного диапазона стандартных отклонений. 95% наблюдений находятся в пределах двух стандартных отклонений, а 99,7% значений находятся в пределах трех стандартных отклонений.

Оглавление

Программы для Windows, мобильные приложения, игры - ВСЁ БЕСПЛАТНО, в нашем закрытом телеграмм канале - Подписывайтесь:)

Что такое нормальное распределение в статистике?

Нормальное распределение — это статистическое явление, представляющее собой симметричную колоколообразную кривую. Большинство значений расположены вблизи среднего значения; также лишь немногие появляются на левом и правом хвостах.
Он следует эмпирическому правилу или правилу 68-95-99,7.
Здесь среднее значение, медиана и мода равны; среднее значение и стандартное отклонение функции равны 0 и 1 соответственно.
Эта математическая функция имеет два ключевых параметра:
Среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ).

Нормальное распределение Объяснение

Нормальное распределение напоминает асимметричное расположение большинства значений вокруг среднего, так что сформированная таким образом кривая выглядит как колокол. Он имеет два ключевых параметра: среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ). Этот вероятностный метод играет решающую роль в расчете доходности активов и принятии решений по стратегии управления рисками. На следующем рисунке показано, что функция статистической вероятности представляет собой колоколообразную кривую. Он получил свое название из-за формы графика, напоминающего колокол. читать далее, что следует эмпирическому правилу:

Возможные результаты функции даны в терминах целых действительных чисел, лежащих между -∞ до +∞. Хвосты колоколообразной кривой простираются по обеим сторонам графика (+/-) без ограничений.

Приблизительно 68% всех наблюдений попадают в пределы +/- одного стандартного отклонения (σ).
Около 95% всех наблюдений находятся в пределах +/- двух стандартных отклонений (σ).
Почти 99,7% всех наблюдений находятся в пределах +/- трех стандартных отклонений (σ).

Асимметрия относится к симметрии. Если skewnessSkewnessSkewness — это отклонение или степень асимметрии, показанная кривой нормального распределения в заданном наборе данных. Если кривая смещается вправо, это считается положительной асимметрией, а кривая, сдвинутая влево, представляет собой отрицательную асимметрию. Читать далее 0, данные идеально симметричны. Если нормальное распределение неравномерно с асимметрией больше нуля или положительной асимметрией, то его правый хвост будет более длинным, чем левый. Аналогично, для отрицательной асимметрииОтрицательная асимметрияОтрицательно асимметричное распределение — это распределение, в котором хвост распределения длиннее с левой стороны, а больше значений нанесено на правую сторону графика. Из-за отрицательного распределения данных среднее значение ниже медианы и моды. Читать далее, левый хвост будет длиннее правого. Отрицательная асимметрия означает, что асимметрия меньше нуля.

KurtosisKurtosisKurtosis в статистике используется для описания распределения набора данных и показывает, в какой степени точки набора данных определенного распределения отличаются от данных нормального распределения. Он определяет, являются ли данные тяжелыми или легкими хвостами. Подробнее — это мера пиковости. Если эксцесс равен 3, данные о вероятности не являются ни слишком острыми, ни слишком тонкими на концах. Если эксцесс больше трех, то кривая данных усиливается с более толстыми хвостами. В качестве альтернативы, если эксцесс меньше трех, то представленные данные имеют тонкие хвосты с пиковой точкой ниже нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен 3.

Характеристики нормального распределения

Нормальное распределение имеет следующие характеристики, которые отличают его от других форм представления вероятностей:

Эмпирическое правило: При нормальном распределении 68 % наблюдений находятся в пределах -/+ одного стандартного отклонения, 95 % значений находятся в пределах -/+ двух стандартных отклонений и почти 99,7 % значений находятся в пределах -/+ трех стандартных отклонений. .
Колоколообразная кривая: большая часть значений находится в центре, а меньшее количество значений находится на концах хвоста. В результате получается колоколообразная кривая.
Среднее и стандартное отклонение: это представление данных формируется средним значением и стандартным отклонением.
Равные центральные тенденции: Среднее значение, медиана и мода этих данных равны.
Симметричный: Кривая нормального распределения центрально-симметрична. Таким образом, половина значений находится слева от центра, а остальные значения отображаются справа.
Асимметрия и эксцесс: Асимметрия – это симметрия. Асимметрия для нормального распределения равна нулю. Куртосис изучает хвост представленных данных. Для нормального распределения эксцесс равен 3.
Общая площадь = 1: общее значение стандартного отклонения, т. е. полная площадь кривой этой функции вероятности, равна единице. Кроме того, все среднее равно нулю.

Кривая нормального распределения

Кривая принимает форму колокола из-за симметричного расположения значений, сосредоточенных по направлению к центральной тенденции. Центральная тенденция. Центральная тенденция — это статистическая мера, отображающая центральную точку всего распределения данных, и ее можно найти с помощью 3 различных мер, т. е. , Среднее, Медиана и Мода.Подробнее. При этом хвост состоит из незначительного количества значений.

Взгляните на кривую ниже, чтобы лучше понять ее форму:

Формула нормального распределения

Функция плотности вероятности (PDF) случайной величины (X) определяется следующим образом:

Решение:

Как показано на рисунке выше, нам нужно найти площадь под кривой нормали от 45 до левого хвоста, чтобы ответить на этот вопрос. Кроме того, нам нужно использовать значение z-таблицы, чтобы получить правильный ответ.

Во-первых, нам нужно преобразовать данное среднее значение и стандартное отклонение. таким образом, интерпретируя надежность данных в виде стандартного нормального распределения со средним значением (µ) = 0 и стандартным отклонением (σ) = 1, используя формулу преобразования.

После преобразования нам нужно просмотреть z-таблицу, чтобы узнать соответствующее значение, которое даст нам правильный ответ.

Данный,

Среднее (µ) = 60 000 долларов США
Стандартное отклонение (σ) = 15000 долларов США
Случайная переменная (x) = 45000 долларов США

Трансформация (z) = (45000 – 60000 / 15000)

Преобразование (z) = -1

Значение, эквивалентное -1 в z-таблице, составляет 0,1587, представляющее площадь под кривой от 45° влево. Таким образом, это показало, что при случайном выборе сотрудника вероятность заработать менее 45000 долларов в год составляет 15,87%.

Важно отметить, что мы преобразовали значение z-показателя 0,1587 в проценты, умножив его на 100, чтобы получить 15,87%.

Пример #2

Для того же вышеприведенного сценария теперь найдите вероятность того, что случайно выбранный сотрудник заработает более 85 000 долларов в год.

Решение:

Итак, в этом вопросе нам нужно узнать заштрихованную область от 85 до правого хвоста по той же формуле.

Данный:

Среднее (µ) = 60 000 долларов США
Стандартное отклонение (σ) = 15000 долларов США
Случайная переменная (X) = 85 000 долларов США.

Трансформация (z) = (85000 – 60000 /15000)

Трансформация (z) = 1,67

Согласно Z-таблице эквивалентное значение 1,67 составляет 0,9525 или 95,25%, что показывает, что вероятность случайного выбора сотрудника, зарабатывающего менее 85 000 долларов в год, составляет 95,25%.

Но что касается вопроса, нам нужно определить вероятность случайных сотрудников, зарабатывающих более 85 000 долларов в год, поэтому нам нужно вычесть рассчитанное значение из 100.

Случайная переменная (X) = 100% – 95,25%
Случайная переменная (X) = 4,75%

Таким образом, вероятность того, что сотрудники заработают более 85 000 долларов в год, составляет 4,75%.

Использование

Эта математическая функция применяется в различных областях науки, будь то наука, экономикаЭкономикаЭкономика — это область социальных наук, изучающая производство, распределение и потребление ограниченных ресурсов в обществе. , организация и обобщение, анализ, интерпретация и, наконец, представление таких данных, как качественных, так и количественных, что помогает принимать более эффективные и эффективные решения с уместностью. Подробнее, финансы, бизнес, инвестиции, психология, здоровье, генетика, биотехнологии или ученые . Некоторые из его типичных применений обсуждаются ниже:

Технический график фондового рынка часто представляет собой колоколообразную кривую, позволяющую аналитикам и инвесторам делать статистические выводы об ожидаемой доходности и риске акций.
Он используется для определения наилучшего времени для доставки пиццы и других подобных приложений в реальной жизни.
Он также применяется в бизнес-операциях. Деловые операции. Деловые операции относятся ко всем тем действиям, которые сотрудники ежедневно выполняют в рамках организационной структуры для производства товаров и услуг для достижения целей компании, таких как получение прибыли. Узнайте больше, чтобы определить эффективность продуктов, ресурсов и продаж. .
Он используется для сравнения роста данной группы населения, в которой большинство людей будут иметь средний рост. Очень немногие люди будут иметь рост выше среднего или ниже среднего.
Они используются при определении средней успеваемости учащихся. Эта математическая функция используется при определении ранга студента.

Функция Гаусса обычно используется в науке о данных и анализе данных. Передовые технологии, такие как искусственный интеллект (ИИ) и машинное обучение, могут давать лучшие результаты при использовании вместе с функциями нормальной плотности.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Почему нормальное распределение важно?

Эта функция Гаусса является одной из самых популярных функций плотности вероятности. Это связано с тем, что он эффективно обеспечивает близкие результаты или вероятность природных явлений. Таким образом, он повсеместно применяется во многих областях, таких как экономика, финансы, инвестиции, психология, наука, здравоохранение, бизнес и экономика.

Что делать, если данные не распределены нормально?

Можно проверить ошибки ввода данных, ошибки измерения и выбросы в случае асимметричного или ненормального распределения. После этого эти вопросы могут быть пересмотрены для устранения ошибок и нормализации представленных данных.

Как узнать, является ли распределение нормальным?

Если выполняются следующие условия, то представленные данные являются нормальными:
• Центрально-симметричная и колоколообразная кривая,
• Равное среднее, медиана и мода,
• Среднее значение распределения равно 0,
• Стандартное отклонение равно 1.
• Асимметрия равна 0. и
• Эксцесс 3 с.

Нормальное распределение

Что такое нормальное распределение в статистике?