Распределение Пуассона

Определение распределения Пуассона

Распределение Пуассона относится к процессу определения вероятности повторения событий в течение определенного периода времени. Переменные для этого распределения вероятностей должны быть счетными, случайными и независимыми.

Этот статистический инструмент используется для понимания будущих возможностей и тенденций. Он используется бизнес-организациями, финансовыми аналитиками. Финансовые аналитики. Финансовый аналитик анализирует проект или компанию с основной целью консультировать руководство / клиентов по поводу жизнеспособных инвестиционных решений. Они проводят тщательный финансовый анализ и делают подходящие объективные прогнозы, чтобы прийти к своим выводам. Читать далее, исследователи рынка, астрономы, ученые, физиологи, спортивные власти и правительственные учреждения. Впервые он был введен Симеоном Дени Пуассоном в 1830 году. Используя этот метод, французский математик рассчитал вероятность успеха в азартных играх.

Оглавление

Программы для Windows, мобильные приложения, игры - ВСЁ БЕСПЛАТНО, в нашем закрытом телеграмм канале - Подписывайтесь:)

Определение распределения Пуассона

Распределение Пуассона — это однопараметрический вероятностный инструмент, используемый для определения шансов на успех, т. е. для определения того, сколько раз событие происходит в течение определенного периода времени.
Формула распределения Пуассона: P(x;µ)=(e^(-µ) µ^x)/x!.
Распределение считается моделью Пуассона, когда количество вхождений является счетным (в целых числах), случайным и независимым. Другими словами, оно должно быть независимым от других событий и их возникновения.
Кроме того, среднее значение X ∼P(µ) = µ; Дисперсия X ∼P(µ) = µ; и стандартное отклонение X ∼P(µ) = +√µ.

Как работает распределение Пуассона?

Распределение Пуассона есть не что иное, как прогноз события, происходящего в определенный период. Устанавливается возможность возникновения события заданное количество раз для заданного периода времени. Например, шансы получить определенное количество ударов сердца в течение минуты — это распределение вероятностей. Рассмотрим другой пример, предположим, что больница хочет реструктурировать персонал своего отделения неотложной помощи. Скажем, больница ежедневно принимает три неотложных случая. Администрация использует распределение Пуассона, чтобы определить возможность приема пяти экстренных случаев в день для найма резервного персонала.

Этот статистический инструмент является однопараметрическим. В результате знание средней переменной возникновения события можно использовать для определения других возможностей. Распределение ПуассонаРаспределение ПуассонаРаспределение Пуассона относится к процессу определения вероятности повторения событий в течение определенного периода времени. X ∼ P(μ). Более того, мы также можем найти его среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение, используя следующие уравнения:

Среднее значение X ∼P(µ) = µ
Дисперсия X ∼P(µ) = µ
Стандартное отклонениеСтандартное отклонениеСтандартное отклонение (SD) — это популярный статистический инструмент, обозначаемый греческой буквой «σ», для измерения вариации или дисперсии набора значений данных относительно их среднего (среднего) значения, таким образом интерпретируя надежность данных.Подробнее о X ∼P(μ) = +√μ

Результаты двух распределений Пуассона можно суммировать, чтобы получить вероятность более широкой случайной величины. То есть X1∼P(µ1) и X2∼P(µ2) могут предоставить значение третьей переменной Y. Здесь Y = X1+X2∼P (µ1+ µ2). Например, предположим, что хоккейная команда выигрывает в среднем два матча на каждые пять сыгранных игр. Какова вероятность выиграть одно соревнование в этом году? Команда может выиграть 0 или 1 матч. Таким образом, чтобы вычислить желаемые результаты, сложите обе вероятности. То есть сложите вероятность выигрыша нулевого матча и вероятность выигрыша одного матча.

В 1830 году Симеон Дени Пуассон представил модель распределения Пуассона. Он был французским математиком, который вычислил шансы на успех в азартных играх, используя этот метод. Однако это был непопулярный инструмент среди игроков. Тем не менее, концепция приобрела значение в области статистики после Второй мировой войны. Британский статистик Р. Д. Кларк использовал этот инструмент, чтобы помочь британскому правительству получить представление о немецких бомбардировках Лондона. Кларк проанализировал, что немцы сбросили бомбы случайным образом. Кларк пришел к выводу, что в атаках не указан регион или город.

Формула распределения Пуассона

Это распределение вероятности определяет вероятность повторения события в течение заданного интервала времени. Формула выглядит следующим образом:

Здесь P(x; µ) — вероятность того, что событие произойдет определенное число раз за определенный период;

e обозначает число Эйлера, основное значение которого равно 2,72;

µ — среднее количество вхождений за определенный период; и

Икс! является факториалом числа событий, для которых определяется вероятность.

Расчет с графиком

Рассмотрим следующее числовое значение, чтобы лучше понять вычисления, используемые в этом математическом инструменте.

Компания-производитель часов хочет сократить количество бракованных изделий. Было отобрано в среднем 100 партий, и было обнаружено, что 7 часов из каждой партии были бракованными. Какова вероятность того, что 10 часов будут бракованными в одной партии?

Решение:

Данный:

Среднее количество бракованных часов в партии (µ) = 7

Ожидаемое количество бракованных часов в конкретной партии (x) = 10

Р (х; мк) = [e^(-μ) μ^x]/Икс!

Р (10;7) = [e^ (-7) 7^10]/10!

Р (10;7) = 0,07098 или 7,098%

Таким образом, вероятность того, что в данной партии будет 10 бракованных часов, составляет 7,098%.

График распределения Пуассона

На том же примере изобразим на графике вероятность наличия 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 бракованных часов.

Примеры распределения Пуассона в Excel

Рассмотрим этот простой пример Excel, чтобы лучше понять, как применяется формула распределения Пуассона.

Пример №1

Среднее количество событий в заданном временном интервале равно 10. Какова вероятность того, что это событие произойдет 15 раз?

В этом примере u = среднее количество появлений события = 10

И х = 15

Следовательно, расчет распределения Пуассона можно выполнить следующим образом:

P (15;10) = e^(-10)*10^15/15!

Р (15; 10) = 0,0347 = 3,47%

Следовательно, вероятность того, что это событие произойдет 15 раз, составляет 3,47%.

Пример #2

Другое использование формулы Пуассона в страховой отрасли. Компания, занимающаяся страховым бизнесом, определяет размер страховой премии на основе количества исков и суммы требований в год. Так, для оценки суммы своей премии страховая компания будет определять среднее количество заявленной суммы в год. Затем, основываясь на этом среднем, он также определит минимальное и максимальное количество исков, которые можно обоснованно подать в год. Основываясь на максимальном количестве суммы претензии, а также стоимости и прибыли от премии, страховая компания определит, какая сумма премии будет хорошей для безубыточности.

Скажем, среднее количество претензий, обрабатываемых страховой компанией в день, равно 5. Она выяснит, какова вероятность 10 претензий в день.

Следовательно, расчет можно провести следующим образом:

Р(10;5) = е^(-5). 5^10/10!

Р(10;5) = 1,81%

Следовательно, вероятность того, что компания будет иметь 10 претензий в день, очень мала. На основании этих данных компания может принять решение о размере премии.

Приложения распределения Пуассона

Распределение Пуассона полезно для прогнозирования, отслеживания и повышения эффективности компании. Он часто применяется для оценки эффективности бизнеса и направления организационных усилий для достижения операционной эффективности. Например, руководство может определить пиковые часы продаж и эффективности обслуживания клиентов, чтобы спланировать потребности в рабочей силе. Таким образом, можно комфортно переносить периоды спешки и суеты.

Этот статистический инструмент очень эффективен для проверки осуществимости и жизнеспособности страхового покрытия. Он включает в себя анализ различных факторов, таких как вероятность несчастных случаев, стоимость страхового покрытия, количество раз, когда может быть предъявлен иск, является ли компания чрезмерно застрахованной или недостаточно застрахованной. Кроме того, используя этот метод, менеджеры по производству контролируют потери, отслеживая количество бракованных изделий в каждом цикле производства.

Это одинаково важный инструмент в области финансов для фондовых аналитиков и рыночных прогнозов. Это помогает определить уровень риска, связанный с инвестициями в ценные бумаги. Это достигается путем установления возможности падения рынка в определенный период. Этот метод даже облегчает анализ поведения инвесторов и частоты инвестиций.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое распределение Пуассона в статистике?

Распределение Пуассона — это не что иное, как предсказание события, происходящего в течение заданного периода времени. Устанавливается возможность возникновения события заданное количество раз для заданного периода времени.

Какими свойствами обладает распределение Пуассона?

Модель называется распределением Пуассона, если она обладает следующими свойствами:

• Возможность успеха в конкретный период времени не зависит от его более раннего наступления.
• Переменные или количество вхождений должны быть целыми числами, т. е. быть исчисляемыми.
• Шансы на успешный исход более одного раза за данный период ничтожны.
• Следует указать значение µ, т. е. среднее количество событий за определенный период.

В чем разница между процессом Пуассона и распределением Пуассона?

Процесс Пуассона — это непрерывное возникновение независимых событий, подобных безостановочному сердцебиению человека. В то время как распределение Пуассона — это средство нахождения возможности повторения события несколько раз за определенный период, т. е. количества повторений события в процессе Пуассона. Например, шансы получить определенное количество ударов сердца в течение минуты — это распределение вероятностей.

Распределение Пуассона

Определение распределения Пуассона